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Robert Sauer's Anfangswertprobleme bei Partiellen Differentialgleichungen PDF

By Robert Sauer

ISBN-10: 3540022767

ISBN-13: 9783540022763

ISBN-10: 3642855970

ISBN-13: 9783642855979

Das vorliegende Buch handelt von partiellen Differentialgleichungen, d. h. von Differentialgleichungen mit zwei oder mehr als zwei unabhangi gen Veranderlichen. Urn eine bestimmte Losung einer partiellen Differen tialgleichung festzulegen, muB guy noch gewisse zusatzliche Daten vor schreiben. Je nach der paintings dieser zusatzlichen Daten spricht guy in gewissen Fallen von Anfangswertproblemen und in anderen Fallen von Randwertproblemen oder von Anfangs-Randwert-Problemen. Ein An fangswertproblem laBt sich z. B. fur die Wellengleichung I x x - I y y = zero stellen (vgl. 2); eine Losung I (x, y) dieser Gleichung liegt etwa in der oberen x, y-Halbebene eindeutig fest, wenn auf der x-Achse als Anfangskurve die Werte von lund der erst en partiellen Ableitung Iy (Anfangswerte) bekannt sind. Ein Randwertproblem kann z. B. fUr die Potentialgleichung Ixx + Ivy = zero gestellt werden (vgl. 1); hier liegt eine Losung I (x, y) etwa im Innern eines Kreises eindeutig fest, wenn guy die Werte von I auf dem Kreis (Randwerte) kennt. Als Bei spiel eines Anfangs-Randwert-Problems sei folgende Aufgabe genannt: Gesucht ist die Losung der Wellengleichung fUr einen in der oberen x, y-Halbebene gelegenen Halbstreifen, der von einer Strecke der x-Achse und zwei zur y-Achse parallelen Halbgeraden begrenzt wird; auf der Strecke der x-Achse sind die Werte von lund Iy (Anfangswerte) vorgegebi)ll, auf den beiden Halbgeraden die Werte von I allein (Rand werte). Anfangs-und Randwertprobleme konnen nicht nach Belieben gestellt werden, sondern fUr gewisse Differentialgleichungen sind nur Anfangswertprobleme, fUr andere nur Randwertprobleme "sachgemaB" .

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Der Bestimmtheitsbereich ist das in Abb. 9 dargestellte Gitter. Der Abhangigkeitsbereich fiir einen Gitterpunkt P ist der (in Abb. 9 schraffierte) Teil der vorgegebenen Quadratreihe, welcher von den beiden durch P gehenden Geraden x ± y = const ausgeschnitten wird. Die beiden unteren Eckpunkte des schraffierten Gebietes gehoren nicht mehr zum Abhangigkeitsbereich flir den Punkt P. Ebenso wird der EinfluBbereich des schraffierten Teiles der Quadratreihe von Geraden x ± y = const begrenzt. Wie in § 2 bezeichnen wir diese Geraden x ± y = const, welche hier als Diagonalen des Gitters erseheinen, als Charakteristiken.

8. Allgemeine Differential-Gl. bei zwei unabhangigen Veranderlichen 45 Als wichtige Folgerung ergibt sich weiter: c) Wenn ein charakteristischer Streifen ein FHichenelement mit einer IntegralfHiche gemeinsam hat, ist er identisch mit einem MONGEschen Streifen dieser IntegralfHiche und gehort ihr daher ganz an. 4. Anfangswertproblem Wir behandeln nun folgende Anfangswertaufgabe 1 : Gegeben sind in dem in Frage stehenden x, y, I, p, q-Bereich flinf Funktionen x (t), y (t), I (t), P(t), q (t) mit stetigen ersten Ableitungen und der Nebenbedingung i2 + y2 =1= O.

Zu jeder MONGESchen Kurve gehort dann ein MONGEScher Streifen, der von den Beruhrebenen der MONGESchen Kegel Hings der MONGESchen Kurve gebildet wird. Betrachten wir nun wie in Ziff. 1 eine vorgegebene Flache / = / (x, y) und auf ihr eine MONGESche Kurve. Dann bilden die Tangentenebenen der Flache langs der MONGESchen Kurve einen Streifen (Beruhrstreifen), der im allgemeinen verschieden ist yom MONGESchen Streifen der vorliegenden MONGESchen Kurve; denn die MONGESchen Kegel werden im allgemeinen die Flache / (x, y) schneiden.

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Anfangswertprobleme bei Partiellen Differentialgleichungen by Robert Sauer


by George
4.3

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